Question

11．已知f（x）=x³+x²+ax，a∈R是常數(shù)．
（Ⅰ）a=-1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的值域；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）有且僅有一條平行于直線y=x的切線，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得（0，1）的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得函數(shù)的值域；
（Ⅱ）“曲線y=f（x）有且僅有一條平行于直線y=x的切線”，有兩種情況：曲線y=f（x）有且僅有一條斜率為1的切線，且這條切線不是直線y=x；曲線y=f（x）有兩條斜率為1的切線，且其中一條為直線y=x．求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由判別式為0，解得a，求得切線的斜率；或設(shè)出切點，求得切線的斜率和方程，解方程可得切點坐標(biāo)和a的值，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+x²-x的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²+2x-1，
令f'（x）=0，解得$x=\frac{1}{3}或x=-1$，
f（x）在（0，1）的單調(diào)區(qū)間和極值情況如下表：

x	$（0，\frac{1}{3}）$	$\frac{1}{3}$	$（\frac{1}{3}，1）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

可得f（0）=0，f（1）=1，$f（\frac{1}{3}）=-\frac{5}{27}$，
所求值域為$[-\frac{5}{27}，1）$；
（Ⅱ）“曲線y=f（x）有且僅有一條平行于直線y=x的切線”，有兩種情況：
其一，曲線y=f（x）有且僅有一條斜率為1的切線，且這條切線不是直線y=x；
其二，曲線y=f（x）有兩條斜率為1的切線，且其中一條為直線y=x．
①若f′（x）=3x²+2x+a=1僅有一個實根，則2²-3×4×（a-1）=0，解得$a=\frac{4}{3}$，
此時由${f^/}（x）=3{x^2}+2x+\frac{4}{3}=1$得$x=-\frac{1}{3}$，斜率為1的切線為$y=x-\frac{1}{27}$，符合題意；
②若y=x是曲線y=f（x）的一條切線，設(shè)切點為（x₀，x₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^3+{x_0}^2+a{x_0}={x_0}\\ 3{x_0}^2+2{x_0}+a=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\ a=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-\frac{1}{2}\\ a=\frac{5}{4}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=1時，f（x）=x³+x²+x，曲線y=f（x）的斜率為1的切線是y=x與$y=x+\frac{4}{27}$，符合題意；
當(dāng)$a=\frac{5}{4}$時，$f（x）={x^3}+{x^2}+\frac{5}{4}x$，曲線y=f（x）的斜率為1的切線是y=x與$y=x-\frac{1}{54}$，符合題意．
綜上所述，$a=1，\frac{5}{4}，\frac{4}{3}$，即為a的取值范圍為$\left\{{1，\frac{5}{4}，\frac{4}{3}}\right\}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．