Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$，（x∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（-x）=-f（x），求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=$\frac{（a-2{）2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$=$\frac{-a{•2}^{x}-（a-2）}{{2}^{x}+1}$，
∴a-2=-a，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
f′（x）=$\frac{2ln{2•2}^{x}}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴f（x）在R遞增；
（3）結(jié)合（1），（2），f（x）是奇函數(shù)，f（x）遞增，
由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
得：f（1-m）＜f（2m-1），
∴1-m＜2m-1，解得：m＞2，
故m的范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．