Question

設函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函數(shù)f（x）=

lnx+1

ex

，恒有f_K（x）=f（x），則（　　）

• A、K的最大值為

  1

  e

• B、K的最小值為

  1

  e

• C、K的最大值為2
• D、K的最小值為2

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由已知條件可得k≥f（x）_max，用導數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
∴等價為K≥f（x）_max，
∵f（x）=

lnx+1

ex

，
∴f′（x）=

1 x ?ex-(lnx+1)ex

(ex)2

=

1 x -(lnx+1)

ex

，
設g（x）=

1

x

-(lnx+1)，
則g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即

1

x

-(lnx+1)=0，
解出x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當x=1時，f（x）取到極大值同時也是最大值f（1）=

ln1+1

e

=

1

e

．
故當k≥

1

e

時，恒有f_k（x）=f（x）
因此K的最小值為

1

e

．
故選：B．

點評：本題考查與函數(shù)有關的新定義題目，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運算求解能力，推理論證能力，解題時要認真審題，仔細解答．綜合性較強，有一定的難度．