Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函數(shù)f（x）=

lnx+1

ex

，恒有f_K（x）=f（x），則（　　）

• A、K的最大值為

  1

  e

• B、K的最小值為

  1

  e

• C、K的最大值為2
• D、K的最小值為2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件可得k≥f（x）_max，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍，進(jìn)一步得出所要的結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
∴等價(jià)為K≥f（x）_max，
∵f（x）=

lnx+1

ex

，
∴f′（x）=

1 x ?ex-(lnx+1)ex

(ex)2

=

1 x -(lnx+1)

ex

，
設(shè)g（x）=

1

x

-(lnx+1)，
則g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即

1

x

-(lnx+1)=0，
解出x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極大值同時(shí)也是最大值f（1）=

ln1+1

e

=

1

e

．
故當(dāng)k≥

1

e

時(shí)，恒有f_k（x）=f（x）
因此K的最小值為

1

e

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與函數(shù)有關(guān)的新定義題目，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．