Question

15．已知（x₀，y₀）是直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3的公共點(diǎn)，則x₀y₀的取值范圍是$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離小于等于半徑，以及圓半徑為正數(shù)，求出k的范圍，再根據(jù)（x₀，y₀）是直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3的交點(diǎn)，滿足直線與圓方程，代入直線與圓方程，化簡，求出用k表示的x₀y₀的式子，根據(jù)k的范圍求x₀y₀的取值范圍．

解答 解：∵直線x+y=2k-1與圓x²+y²=k²+2k-3
∴圓心（0.0）到直線的距離d=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{2}}≤\sqrt{{k}^{2}+2k-3}$
解得$2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤k≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵圓x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0
解得，k＜-3，或k＞1
∴k的取值范圍為$2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤k≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_0}+{y_0}=2k-1\\{x_0}^2+{y_0}^2={k^2}+2k-3\end{array}\right.$得${x_0}{y_0}=\frac{3}{2}{（k-1）^2}+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}≤{x_0}{y_0}≤\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}$，
∴x₀y₀的取值范圍是$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．
故答案為：$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了直線與圓相交位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)考慮要全面，不要丟情況．