Question

18．如圖，圓O與直線x+$\sqrt{3}$y+2=0相切于點(diǎn)P，與x正半軸交于點(diǎn)A，與直線y=$\sqrt{3}$x在第一象限的交點(diǎn)為B．點(diǎn)C為圓O上任一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，以x，y為坐標(biāo)的動(dòng)點(diǎn)D（x，y）的軌跡記為曲線Γ．
（1）求圓O的方程及曲線Γ的方程；
（2）若兩條直線l₁：y=kx和l₂：y=-$\frac{1}{k}$x分別交曲線Γ于點(diǎn)E、F和M、N，求四邊形EMFN面積的最大值，并求此時(shí)的k的值．
（3）已知曲線Γ的軌跡為橢圓，研究曲線Γ的對稱性，并求橢圓Γ的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出圓心O到直線的距離即為圓的半徑，得出圓O的方程，求出C點(diǎn)坐標(biāo)代入圓O方程得出曲線Γ的方程；
（2）聯(lián)立方程組求出四點(diǎn)坐標(biāo)，得出|EF|，|MN|，代入面積公式得出面積S關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出S的最大值；
（3）根據(jù)曲線Γ的方程特點(diǎn)得出對稱性，計(jì)算曲線Γ的長短軸判斷焦點(diǎn)位置，利用橢圓的性質(zhì)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）圓心O到直線x+$\sqrt{3}$y+2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+3}}$=1，
∴圓O的方程為x²+y²=1．
由題意可得A（1，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴C（x+$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
∴（x+$\frac{1}{2}y$）²+$\frac{3}{4}$y²=1，
即x²+y²+xy=1．即曲線Γ的方程為x²+y²+xy=1．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+xy=1}\end{array}\right.$，得（1+k+k²）x²-1=0，
∴E（$\frac{1}{\sqrt{1+k+{k}^{2}}}$，$\frac{k}{\sqrt{1+k+{k}^{2}}}$），F(xiàn)（-$\frac{1}{\sqrt{1+k+{k}^{2}}}$，-$\frac{k}{\sqrt{1+k+{k}^{2}}}$），
∴|EF|=2$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+k+{k}^{2}}}$，同理可得|MN|=2$\sqrt{\frac{1+\frac{1}{{k}^{2}}}{1-\frac{1}{k}+\frac{1}{{k}^{2}}}}$=2$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1-k+{k}^{2}}}$．
∵EF⊥MN，∴四邊形EMFN面積S=$\frac{1}{2}$|EF||MN|=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+k+{k}^{2}）（1-k+{k}^{2}）}}$=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}-{k}^{2}}}$．
∴$\frac{2}{S}$=$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}-{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$．
∵k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，∴$\frac{2}{S}$≥$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴S≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$即k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形EMFN面積取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（3）曲線Γ關(guān)于直線y=x，y=-x和原點(diǎn)對稱．
設(shè)曲線Γ與y=x交于P，Q，與直線y=-x交于R，S，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+xy=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．∴P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），Q（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+xy=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$．∴R（1，-1），S（-1，1）．
∴|PQ|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，|RS|=2$\sqrt{2}$．∵|PQ|＜|RS|，
∴橢圓的焦點(diǎn)在直線y=-x上．
設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F₁（a，-a），F(xiàn)₂（-a，a），則PF₁=$\frac{|RS|}{2}$=$\sqrt{2}$，又|OP|=$\frac{|PQ|}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|OF₁|=$\sqrt{P{{F}_{1}}^{2}-O{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴2a²=$\frac{4}{3}$，解得a=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴曲線Γ的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．