Question

7．記數(shù)列{2n}的前n項和為a_n，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n-8，則b_nS_n的最小值為（　�。�

• A． -3
• B． -4
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由等差數(shù)列通項公式求得a_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項法”即可求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得b_nS_n的最小值．

解答 解：由題意可知：a_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
則b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-10=-4，
當且僅當n+1=$\frac{9}{n+1}$，即n=2時取最小值-4，
∴b_nS_n的最小值-4，
故答案選：B．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式，“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與基本不等式相結(jié)合，考查計算能力，屬于中檔題．