Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線M的方程為ρ²（3+cos2θ）=8．
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程
（2）若點(diǎn)A（0，m），B（n，0）在曲線M上，點(diǎn)F（0，-$\sqrt{{m^2}-{n^2}}}$），F(xiàn)P平行于x軸交曲線M于點(diǎn)P（x₀，y₀），其中m＞0，n＞0，x₀＞0，求證：PO∥BA．

Answer 1

分析 （1）ρ²（3+cos2θ）=8可化為：ρ²（3+cos²θ-sin²θ）=8，再利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）點(diǎn)A（0，m），B（n，0）在曲線M上，又m＞0，n＞0，由（1）知：A（0，2），B（$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)$（0，-\sqrt{2}）$是曲線M的一個焦點(diǎn)，F(xiàn)P平行于x軸交曲線M于點(diǎn)P（x₀，y₀），又x₀＞0，P$（{x}_{0}，-\sqrt{2}）$．代入橢圓方程可得x₀，利用斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）ρ²（3+cos2θ）=8可化為：ρ²（3+cos²θ-sin²θ）=8，
利用互化公式可得：3（x²+y²）+x²-y²=8，
化為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
（2）證明：點(diǎn)A（0，m），B（n，0）在曲線M上，又m＞0，n＞0，由（1）知：
A（0，2），B（$\sqrt{2}$，0），
∴c=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，可得F$（0，-\sqrt{2}）$是曲線M的一個焦點(diǎn)，
FP平行于x軸交曲線M于點(diǎn)P（x₀，y₀），又x₀＞0，∴P$（{x}_{0}，-\sqrt{2}）$．
∴$\frac{{{x_0}^2}}{2}+\frac{{{{（{-\sqrt{2}}）}^2}}}{4}=1，{x_0}=1$，
k_AB=$\frac{2-0}{0-\sqrt{2}}$=-$\sqrt{2}$．
k_OP=$\frac{-\sqrt{2}}{1}$=-$\sqrt{2}$，點(diǎn)O不在直線AB上，
∴PO∥BA．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、斜率計(jì)算公式、直線平行與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．