Question

5．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}+1$的值域為（-∞，-1]∪[3，+∞），則a=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 可以判斷a=0和a＜0時，f（x）的值域都為R，不滿足條件，從而可得出a＞0，然后可根據基本不等式求出f（x）的值域，對照已知的f（x）的值域便可求出a的值．

解答 解：①若a=0，f（x）=x+1的值域為R，不合題意；
②若a＜0，則f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是增函數，∴f（x）的值域為R，不合題意；
③若a＞0，則：x＜0時，$f（x）=x+\frac{a}{x}+1=-[（-x）+\frac{a}{-x}]+1≤-2\sqrt{a}+1$；
x＞0時，f（x）$≥2\sqrt{a}+1$；
∴f（x）的值域為$（-∞，-2\sqrt{a}+1]∪[2\sqrt{a}+1，+∞）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{a}+1=-1}\\{2\sqrt{a}+1=3}\end{array}\right.$；
解得a=1．
故選B．

點評 考查函數值域的定義及求法，清楚一次函數的值域，根據函數單調性求函數值域的方法，以及基本不等式的應用．