Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l：y=kx-2與橢圓C交于A，B兩點，點P（0，1），且|PA|=|PB|，則直線l的方程為x-y-2=0或x+y+2=0．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，得到AB中點E的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系把E的坐標(biāo)用含有k的代數(shù)式表示，結(jié)合|PA|=|PB|，得PE⊥AB，轉(zhuǎn)化為斜率的關(guān)系列式求得k值，則直線方程可求．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點為E（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-12kx+3=0，則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，
∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴△=144k²-12（1+3k²）＞0，解得k²$＞\frac{1}{9}$．
而${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4=k•\frac{12k}{1+3{k}^{2}}-4=-\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，
∴E點的坐標(biāo)為（$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}，-\frac{2}{1+3{k}^{2}}$）．
∵|PA|=|PB|，∴PE⊥AB，則k_PE•k_AB=-1，
∴$\frac{-\frac{2}{1+3{k}^{2}}-1}{\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}•k=-1$，解得：k=±1，滿足k²＞$\frac{1}{9}$．
∴直線方程為x-y-2=0或x+y+2=0．
故答案為：x-y-2=0或x+y+2=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，考查計算能力，是中檔題．