Question

9．設(shè)S_n，T_n，分別為數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和，64S_n=72a_n-27，（8n+1）a_n-b_n=9ⁿ⁺²，則當(dāng)n=26時(shí)，T_n最�。�

Answer 1

分析 由64S_n=72a_n-27，可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{27}{8}$為首項(xiàng)，以9為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后代入（8n+1）a_n-b_n=9ⁿ⁺²，得到b_n關(guān)于n的函數(shù)，再由數(shù)列的函數(shù)特性求得答案．

解答 解：∵64S_n=72a_n-27，∴64a₁=72a₁-27，得${a}_{1}=\frac{27}{8}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，64S_n-64S_n-1=64a_n=72a_n-27，
∴a_n=9a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=9$．
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{27}{8}$為首項(xiàng)，以9為公比的等比數(shù)列，則${a}_{n}=\frac{27}{8}•{9}^{n-1}$．
∵（8n+1）a_n-b_n=9ⁿ⁺²，
∴$_{n}=\frac{27}{8}（8n+1）•{9}^{n-1}-{9}^{n+2}$=$\frac{{9}^{n}}{8}（24n-645）$．
當(dāng)n≤26時(shí)，b_n＜0；當(dāng)n＞26時(shí)，b_n＞0．
∴當(dāng)n=26時(shí)，T_n最�。�
故答案為：26．

點(diǎn)評(píng) 不同考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．