Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]與{a_n}分別表示a_n的整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分），則a₂₀₁₄=（　　）

• A． 3020+$\sqrt{3}$
• B． 3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+3018
• D． 3018+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系及其[x]、{x}的意義，求出數(shù)列的前幾項，得到數(shù)列的規(guī)律性，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，
∴a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，同理可得：a₃=4+（$\sqrt{3}$-1），a₄=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a₅=7+（$\sqrt{3}$-1），a₆=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₇=10+（$\sqrt{3}$-1），a₈=11+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a₉=13+（$\sqrt{3}$-1），…．
∴a_2n=（3n-1）+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
則a₂₀₁₄=3×1007-1+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、新定義、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．