Question

11．若函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x-a|．
（I）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＜5；
（II）f（x）的最小值為5，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=3|x-1|，由f（x）＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x-3＜5}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-3x＜5}\end{array}\right.$②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（II）當(dāng)a=1時，f（x）=3|x-1|，它的最小值為0，不滿足f（x）的最小值為5；再分當(dāng)a＜1時、當(dāng)a＞1時兩種情況，利用單調(diào)性求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）的最小值為5，求得a的值．

解答 解：（I）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x-1|=3|x-1|，由f（x）＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x-3＜5}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-3x＜5}\end{array}\right.$②，
解①求得1＜x＜$\frac{8}{3}$，解②求得-$\frac{2}{3}$＜x≤1，
綜上可得，不等式f（x）＜5的解集為{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$}．
（II）當(dāng)a=1時，f（x）=3|x-1|，它的最小值為0，不滿足f（x）的最小值為5．
當(dāng)a＜1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a+1-3x，x＜a}\\{x+1-2a，a≤x≤1}\\{3x-1-2a，x＞1}\end{array}\right.$，故當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值為f（a）=|a-1|=1-a，
由1-a=5，求得a=-4．
當(dāng)a＞1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-3x，x＜1}\\{2a-1-x，1≤x≤a}\\{3x-2a-1，x＞a}\end{array}\right.$，故當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值為f（a）=|a-1|=1-a，
由1-a=5，求得a=-4（舍去）．
綜上可得，a=-4．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．