Question

（幾何法）已知圓x²+y²+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓x²+y²+x-6y+m=0求出圓心C坐標(biāo)及半徑，設(shè)P、Q兩點的中點A的坐標(biāo)是（a，b），由弦的中點的性質(zhì)列出方程組求出a、b，代入兩點間的距離公式求出OA，再由OP⊥OQ和直角三角形的性質(zhì)求出PQ，利用弦長公式求出半徑r、m即可．

解答： 解：由圓x²+y²+x-6y+m=0得，圓心C坐標(biāo)為（-

1

2

，3），半徑r²=

37

4

-m＞0，
設(shè)P、Q兩點的中點A的坐標(biāo)是（a，b），
因為PQ是圓x²+y²+x-6y+m=0的弦，所以CA⊥PQ，
則

a+2b-3=0 b-3 a+ 1 2 ×(- 1 2 )=-1

，解得a=-1、b=2，
所以P、Q兩點的中點A的坐標(biāo)是（-1，2），則OA=

1+4

=

5

，
因為OP⊥OQ，所以PQ=2OA=2

5

，
因為圓心C到直線x+2y-3=0的距離d=

|- 1 2 +2×3-3|

1+4

=

5

2

，
則由弦長公式得，r²=(

5

2

)2+(

5

)2=

37

4

-m，解得r=

5

2

，且m=3，
所以該圓的圓心坐標(biāo)是（-

1

2

，3），半徑r=

5

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的一般方程的求圓心、半徑，弦長公式、弦的中點的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，體現(xiàn)了幾何法的應(yīng)用，是�？碱}型．