Question

函數(shù)f（x）=x-alnx-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=1時(shí)，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x-1對x＞1恒成立，求正整數(shù)b的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），再討論a的取值范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=1時(shí)，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?b＜

1+xlnx

x-1

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）問知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上遞增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0，可推出f（x）在（3，4）上有唯一零點(diǎn)x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2，再由的范圍，求出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=0，
x∈（0，a）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
綜上：a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增，無減區(qū)間，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（Ⅱ）a=1時(shí)，f（x）=x-lnx-2，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
x＞1時(shí)，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?（b+1）•

x-1

x

＜lnx+1，b+1＜（lnx+1）•

x

x-1

，
b＜

xlnx+x-x+1

x-1

?b＜

1+xlnx

x-1

，
設(shè)g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）問知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上遞增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0
∴f（x）在（3，4）上有唯一零點(diǎn)x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2
∴1＜x＜x₀時(shí)g′（x）＜0，x＞x₀時(shí)g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上遞減、在（x₀，+∞）上遞增，
則x＞1時(shí)，g（x）_min=g（x₀）=

1+x0lnx0

x0-1

=

1+x0(x0-2)

x0-1

=x₀-1，
由b＜

1+xlnx

x-1

恒成立得b＜x₀-1，又3＜x₀＜4知2＜x₀-1＜3，
又b是正整數(shù)，則b的取值集合是{1，2}

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．