Question

13．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（x-1）（a＞0且a≠1）
（1）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求使f（x）-g（2x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）①要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，由此求得函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域．
②根據(jù)函數(shù)F（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得函數(shù)F（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）要解的不等式即log_a（1+x）＞log_a（2x-1），分當(dāng)a＞1時(shí) 和當(dāng) 0＜a＜1時(shí)兩種情況，分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性求得不等式的解集．

解答 解：（1）①∵函數(shù)f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚，
要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
故函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域?yàn)椋?，+∞）．
②令F（x）=f﹙x﹚+g﹙x﹚，則由①可得函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)F（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）由f﹙x﹚-g（2x）＞0可得 log_a（1+x）＞log_a（2x-1），
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式化為1+x＞2x-1＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，故不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，2）；
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，不等式化為2x-1＞x+1＞0，解得 x＞2，故不等式的解集為（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．