Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-x+1，若命題：存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• C． （-∞，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 依題意，將“存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0為假命題”轉(zhuǎn)化為“?x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立”，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0為假命題
??x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥0恒成立
??x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立
?a≥${（\frac{1}{2x}）}_{max}$=$\frac{1}{2}$．
即實數(shù)a的取值范圍為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，將“存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0為假命題”轉(zhuǎn)化為“?x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立”是關(guān)鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)的運用，屬于難題．