Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（1，$\frac{3}{2}}$），其長軸的左右兩個端點分別為A，B，直線y=$\frac{3}{2}$x+m交橢圓于兩點C，D．
（1）求橢圓標準的方程；
（2）設直線AD，CB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2c=2，即c=1，將點（1，$\frac{3}{2}}$）代入橢圓方程，由a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，解方程即可得到所求m的值．

解答 解：（1）由題意得2c=2，a²-b²=c²，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，
可得橢圓由題意標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得3x²+3mx+m²-3=0，
即有${x_1}+{x_2}=-m，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{3}$，
由題意知，A（-2，0），B（2，0），
即有k_AD=k₁=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，k_BC=k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，
由k₁：k₂=2：1，即$\frac{{{y_2}（{{x_1}-2}）}}{{{y_1}（{{x_2}+2}）}}=2$，得$\frac{{y_2^2{{（{{x_1}-2}）}^2}}}{{y_1^2{{（{{x_2}+2}）}^2}}}=4$①，
又$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，∴$y_1^2=\frac{3}{4}（{4-x_1^2}）$，同理$y_2^2=\frac{3}{4}（{4-x_2^2}）$，
代入①式，解得$\frac{{（{2-{x_2}}）（{2-{x_1}}）}}{{（{2+{x_1}}）（{2+{x_2}}）}}=4$，即10（x₁+x₂）+3x₁x₂+12=0，
可得10（-m）+m²-3+12=0解得m=1或9，
又m²＜12，則m=9（舍去），故m=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用焦距和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．