Question

11．已知點A是拋物線y=$\frac{{x}^{2}}{2}$上的一個動點，過A作圓D：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=r²（r＞0）的兩條切線，它們分別切圓D于E，F(xiàn)兩點．
（1）當(dāng)r=$\frac{3}{2}$，A點坐標(biāo)為（2，2）時，求兩條切線的方程；
（2）對于給定的正數(shù)r，當(dāng)A運(yùn)動時，A總在圓D外部，直線EF都不通過的點構(gòu)成一個區(qū)域，求這個區(qū)域的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線x=2不滿足條件，設(shè)切線方程為：y-2=k（x-2），化為：kx-y+2-2k=0，利用直線圓相切的充要條件可得$\frac{|0-\frac{1}{2}+2-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，化簡解出即可得出．
（2）A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）$總在圓D外部，可得：r²＜${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}}{4}$+$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}$+$\frac{1}{4}$=對一切實數(shù)x₀都成立，可得r²$＜\frac{1}{4}$，解得r范圍．點E，F(xiàn)在圓D：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=r²（r＞0）上，也在以D$（0，\frac{1}{2}）$，A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）$為直徑的圓上．上面兩個圓的方程相減可得：直線EF的方程，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）直線x=2不滿足條件，設(shè)切線方程為：y-2=k（x-2），化為：kx-y+2-2k=0，
則$\frac{|0-\frac{1}{2}+2-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，化為：7k²-24k=0，解得k=0或$\frac{24}{7}$．
∴切線方程為：y-2=0，或24x-7y-34=0．
（2）A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）$總在圓D外部，∴r²＜${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}}{4}$+$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}$+$\frac{1}{4}$=對一切實數(shù)x₀都成立，
∴r²$＜\frac{1}{4}$，解得$0＜r＜\frac{1}{2}$．
點E，F(xiàn)在圓D：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=r²（r＞0）上，也在以D$（0，\frac{1}{2}）$，A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）$為直徑的圓上．
即在x（x-x₀）+$（y-\frac{1}{2}）（y-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）$=0上．
上面兩個圓的方程相減可得：
x₀x+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{2}-\frac{1}{2}）（y-\frac{1}{2}）$=r²即為直線EF的方程，化為：（2y-1）${x}_{0}^{2}$+4xx₀+（1-2y-4r²）=0．
y$≠\frac{1}{2}$，關(guān)于x₀的二次方程有實數(shù)根，
∴△=16x²-4（2y-1）（1-2y-4r²≥0，即x²+$（y-\frac{1-2{r}^{2}}{2}）^{2}$≥r⁴．
即直線EF不經(jīng)過圓Gx²+$（y-\frac{1-2{r}^{2}}{2}）^{2}$=r⁴的內(nèi)部的每一個點．
直線y=$\frac{1}{2}$與圓G相切于點（0，$\frac{1}{2}$）．
故當(dāng)A運(yùn)動時，直線EF都不通過的點構(gòu)成一個區(qū)域是圓G，這個區(qū)域的面積是πr²，取值范圍是$（0，\frac{π}{16}）$．

點評 本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩個圓的位置關(guān)系、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．