Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N₊，t為常數(shù)）．
（Ⅰ）求t的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N^*），記T_n為{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，結(jié)合數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，即可求t的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由b_n=n，得b_n•a_n=n•2ⁿ，再由錯(cuò)位相減法求得T_n，代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）后分離參數(shù)m，由數(shù)列的函數(shù)特性求得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+

t

16

，
∴an=Sn-1+

t

16

（n≥2），
兩式作差得：a_n+1=2a_n（n≥2），
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴

a2

a1

=2，
∵a₁=2，
∴an=a1qn-1=2•2n-1=2n．
a2=a1+

t

16

=2+

t

16

=

32+t

16

，
由

a2

a1

=

32+t

32

=2，解得：t=32；
（Ⅱ）由b_n=n，
則b_n•a_n=n•2ⁿ，
∴Tn=1•21+2•22+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1，
兩式作差得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．
（n-1）²≤m（T_n-n-1）對(duì)于n≥2恒成立，即為（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹-n+1]對(duì)于n≥2恒成立，
也就是m≥

n-1

2n+1-1

(n≥2)，
由作差法可得函數(shù)f（n）=

n-1

2n+1-1

(n≥2)為減函數(shù)，
∴f(n)max=

1

7

．
∴m的取值范圍是[

1

7

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．