Question

17．已知拋物線y=x²-7上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（　　）

• A． 5
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 6
• D． $6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入直線x+y=0中求得b，進(jìn)而由弦長(zhǎng)公式求得|AB|．

解答 解：由題意可得，可設(shè)AB的方程為 y=x+b，
代入拋物線y=x²-7化簡(jiǎn)可得 x² -x-b-7=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-b-7，
y₁+y₂=x₁²-7+x₂²-7=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-14=1+2b+14-14=1+2b，
故AB 的中點(diǎn)為M（$\frac{1}{2}$，b+$\frac{1}{2}$），
由點(diǎn)M在x+y=0上，即$\frac{1}{2}$+b+$\frac{1}{2}$=0，解得：b=-1，
∴x₁•x₂=-6，
∴由弦長(zhǎng)公式可求出丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4×（-6）}$=5$\sqrt{2}$，
故答案選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．