Question

9．若傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的左焦點F且交橢圓于A，B兩點，若|AF|=3|BF|，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓方程，求得直線AB的方程，和橢圓方程聯(lián)立后求得A，B兩點的縱坐標(biāo)，由|AF|=3|BF|，轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)的關(guān)系得答案．

解答 解：橢圓左焦點F（-c，0），
直線AB的傾斜角為$\frac{π}{6}$，則斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$（{a}^{2}+3^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{3}^{2}cy-^{4}=0$．
解得：${y}_{1}=\frac{\sqrt{3}^{2}c+2a^{2}}{{a}^{2}+3^{2}}$，${y}_{2}=\frac{\sqrt{3}^{2}c-2a^{2}}{{a}^{2}+3^{2}}$．
∵|AF|=3|BF|，∴y₁=-3y₂．
即$\sqrt{3}^{2}c+2a^{2}$=-3×（$\sqrt{3}^{2}c-2a^{2}$），
即$4\sqrt{3}^{2}c=4a^{2}$，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計算能力，是中檔題．