Question

19．平面上的兩個向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=a，|$\overrightarrow{OB}$|=b，且a²+b²=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，若向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R）．且（λ-$\frac{1}{2}$）²a²+（μ-$\frac{1}{2}$）²b²=1，則|$\overrightarrow{OC}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 由條件即可得到|AB|=2，OA⊥OB，然后畫出圖形，并取AB中點D，從而可得出$\overrightarrow{DC}$=$（λ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OA}+（μ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OB}$，通過求${\overrightarrow{DC}}^{2}$即可求出$|\overrightarrow{DC}|=1$，這樣點C便在以D為圓心，1為半徑的圓上，從而得出OC為圓D的直徑時$|\overrightarrow{OC}|$最大，并可得出該最大值．

解答 解：根據(jù)條件，|AB|=2，OA⊥OB，如圖，取AB中點D，則：
$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$；
∴$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$=$（λ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OA}+（μ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OB}$；
∴${\overrightarrow{DC}}^{2}=（λ-\frac{1}{2}）^{2}{a}^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}^{2}=1$；
∴|DC|=1；
∴C在以D為圓心，1為半徑的圓上；
∴當OC為圓D的直徑時，$|\overrightarrow{OC}|$最大，∴$|\overrightarrow{OC}|$的最大值為2．
故答案為：2．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算，直徑所對圓周角為直角．