Question

（1）已知a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），求證：alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1；
（2）已知a₁+a₂+…+a 3n=1，a_i＞0（i=1，2，3，…，3ⁿ），求證：a₁log₃a₁+a₂log₃a₂+a₃log₃a₃+…+a 3nlog₃a 3n≥-n．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：推理和證明

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlog₃x，利用導(dǎo)數(shù)可得f″（x）=

1

xln3

＞0，滿足琴聲不等式的條件，利用琴聲不等式即可證得結(jié)論成立；
（2）利用琴聲不等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證得結(jié)論成立．

解答： 證明：（1）令f（x）=xlog₃x，
則f′（x）=log₃x+x•

1

xln3

=log₃x+

1

ln3

，
f″（x）=

1

xln3

＞0，
由于a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），
由琴聲不等式（琴生不等式以丹麥數(shù)學(xué)家約翰•琴生（Johan Jensen）命名，也稱為詹森不等式）
得：

alog3a+blog3b+clog3c

3

≥f（

a+b+c

3

），
即alog₃a+blog₃b+clog₃c≥3f（

a+b+c

3

）=3×（

a+b+c

3

log3

a+b+c

3

）=3×

1

3

log3

1

3

=-1；
（2）因?yàn)閍₁+a₂+…+a 3n=1，a_i＞0（i=1，2，3，…，3ⁿ），
所以，由琴聲不等式得：a₁log₃a₁+a₂log₃a₂+a₃log₃a₃+…+a 3nlog₃a 3n≥3ⁿ（

a1+a2+…+a3n

3n

log3

a1+a2+…+a3n

3n

）=log33-n=-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)，著重考查琴聲不等式的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于難題．