Question

20．如圖，在四棱錐V-ABCD中，VD⊥平面ABCD，VD=DC=BC=2，AB=4，
AB∥CD，BC⊥CD．
（1）求證：BC⊥VC；
（2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離．

Answer 1

分析 （1）先由線面垂直的定義證明VD⊥BC，再由線面垂直的判定定理證明BC⊥平面VCD，從而證明結(jié)論；
（2）先將所求三棱錐看做以三角形ABC為底的三棱錐，進(jìn)而利用已知數(shù)據(jù)和線面關(guān)系，利用三棱錐的體積計(jì)算公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵VD⊥平面ABCD，BC?平面ABC，
∴VD⊥BC，
∵CD⊥BC，VD∩CD=D
∴BC⊥平面VCD，又VC?平面VCD
∴BC⊥VC；
（2）解：設(shè)點(diǎn)A到平面VBC的距離為h，
∵PD⊥平面ABCD
∴V_A-VBC=V_V-ABC=$\frac{1}{3}$×S_△ABC×VD
∵AB∥DC，∠BCD=90°
∴△ABC為直角三角形，且∠B=90°
∵VD=DC=BC=2，AB=4，
∴V_A-VBC=V_V-ABC=$\frac{1}{3}$×S_△ABC×VD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×2×2=$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$h
∴h=2$\sqrt{2}$．  
即點(diǎn)A到平面VBC的距離為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體中的線面關(guān)系，三棱錐的體積計(jì)算公式和計(jì)算方法，線面垂直的定義和線面垂直的判定定理的運(yùn)用，空間想象能力和計(jì)算能力．