8．對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1，給出下列命題：
①該函數(shù)必有2個極值；       ②該函數(shù)的極大值必大于1；
③該函數(shù)的極小值必小于1；   ④方程f（x）=0一定有三個不等的實數(shù)根．
則正確的命題序號為：①②③．

分析 先求導數(shù)，通過討論參數(shù)a的不同取值討論極值的大�。賹�(shù)的判別式很大于0，說明有兩個極值．②因為f（0）=1，兩個極值點一個大于零，一個小于0，所以函數(shù)的極小值必小于1，極大值必大于1，所以可判斷②③．④因為極小值的大小不確定，所以無法判斷函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：①函數(shù)的導數(shù)為f'（x）=3x2+2ax-1．對應的判別式△=4a2+12＞0，
說明導數(shù)方程f'（x）=0有兩個不同的根，即函數(shù)必有兩個極值點．所以①正確．
②因為方程f'（x）=0的兩根之和為-$\frac{1}{3}$＜0，
所以兩個根一個為x1＜0，一個為x2＞0，且在x1處取得極大值，x2處取得極小值．
在又f（0）=1，所以該函數(shù)的極大值必大于1，函數(shù)的極小值必小于1，即②③正確．
④因為極小值不確定，所以當極小值小于0時，函數(shù)有三個不同的零點，
當極小值等于0時，函數(shù)有兩個不同的零點，當極小值大于0時，
函數(shù)只有一個零點，所以④不正確．
所以正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題的考點是導數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，以及函數(shù)與方程問題．考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．設函數(shù)f（x）=lnx+x2-ax．
（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若f（x）≤$\frac{1}{2}$（3x2+$\frac{1}{x^2}$-6x）在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{9}{4}（x＞0）}\\{{3}^{x}（x≤0）}\end{array}\right.$，則f[f（$\frac{1}{4}$）]的值是（　�。�
A．$\frac{1}{9}$B．9C．-$\frac{1}{9}$D．-9

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．袋中裝有大小相同且質(zhì)地一樣的五個球，五個球上分別標有2，3，4，6，9這五個數(shù)．現(xiàn)從中隨機選取兩個球，則所選的兩個球上的數(shù)字至少有一個是奇數(shù)的概率是$\frac{7}{10}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．已知橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中一個焦點坐標為$（\sqrt{2}，0）$．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓M交于A，B兩點，且△OAB（O為坐標原點）面積為$\sqrt{2}$，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．函數(shù)y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，記∠APB=θ，則sin2θ的值是$\frac{16}{65}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．如圖，在四棱錐V-ABCD中，VD⊥平面ABCD，VD=DC=BC=2，AB=4，
AB∥CD，BC⊥CD．
（1）求證：BC⊥VC；
（2）求點A到平面VBC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．若sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，θ∈[0，π]，則tanθ=-2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)f（x）=sin2xcos2x+sin22x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）在△ABC中，角B為鈍角，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f（$\frac{B}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sinC=$\sqrt{2}$sinA，S△ABC=4，求c的值．

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