Question

2．函數(shù)f（x）=cos$\frac{π}{2}$x，對任意的實數(shù)t，記f（x）在[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），則函數(shù)h（t）=M（t）-m（t）的值域為$[1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 求出周期，畫出f（x）的圖象，討論（1）當(dāng)4n-1≤t≤4n，（2）當(dāng)4n＜t＜4n+1，（3）當(dāng)4n+1≤t≤4n+2，（4）當(dāng)4n+2＜t＜4n+3，分別求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到．

解答 解：解：函數(shù)f（x）=cos$\frac{π}{2}$x的周期為T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
（1）當(dāng)4n-1≤t≤4n，n∈Z，區(qū)間[t，t+1]為增區(qū)間，則有m（t）=cos$\frac{πt}{2}$，M（t）=cos$\frac{π（t+1）}{2}$=sin$\frac{πt}{2}$，
（2）當(dāng)4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+$\frac{1}{2}$，
則M（t）=1，m（t）=sin$\frac{πt}{2}$，
②若4n+$\frac{1}{2}$＜t＜4n+1，則M（t）=1，m（t）=sin$\frac{πt}{2}$，
（3）當(dāng)4n+1≤t≤4n+2，則區(qū)間[t，t+1]為減區(qū)間，則有M（t）=cos$\frac{πt}{2}$，m（t）=sin$\frac{πt}{2}$；
（4）當(dāng)4n+2＜t＜4n+3，則m（t）=-1，
①當(dāng)4n+2＜t≤4n+$\frac{5}{2}$時，M（t）=cos$\frac{πt}{2}$，
②當(dāng)4n+$\frac{5}{2}$＜t＜4n+3時，M（t）=sin$\frac{πt}{2}$；則有h（t）=M（t）-m（t）
=$\left\{\begin{array}{l}{cosfrac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，4n-1≤t≤4n}\\{1-sin\frac{πt}{2}，4n＜t≤4n+\frac{1}{2}}\\{1-cos\frac{πt}{2}，4n+\frac{1}{2}＜t＜4n+1}\\{sin\frac{πt}{2}-cos\frac{πt}{2}，4n+1≤t≤4n+2}\\{sin\frac{πt}{2}+1，4n+2＜t≤4n+\frac{5}{2}}\\{cos\frac{πt}{2}+1，4n+\frac{5}{2}＜t＜4n+3}\end{array}\right.$
當(dāng)4n-1≤t≤4n，h（t）的值域為[1，$\sqrt{2}$]，
當(dāng)4n＜t≤4n+$\frac{1}{2}$，h（t）的值域為[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
當(dāng)4n+$\frac{1}{2}$＜t＜4n+1，h（t）的值域為（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
當(dāng)4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域為[1，$\sqrt{2}$]，
當(dāng)4n+2＜t≤4n+$\frac{5}{2}$時，h（t）的值域為[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
當(dāng)4n+$\frac{5}{2}$＜t＜4n+3時，h（t）的值域為[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
綜上，h（t）=M（t）-m（t）的值域為$[1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$．
故答案是：$[1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的周期性和單調(diào)性及運用，考查運算能力，有一定的難度．