Question

16．已知函數(shù)f（x）=2|x+2|-|x-a|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=4時，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）當(dāng)a＞-2時，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積不超過54，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=4時，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，利用平方法進(jìn)行求解即可求不等式f（x）≤0的解集；
（2）當(dāng)a＞-2時將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，求出f（x）=0的根，確定圖象與x軸圍成三角形的頂點坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時，不等式f（x）≤0得2|x+2|-|x-4|≤0，
得2|x+2||≤|x-4|．平方得4（x+2）²≤（x-4）²，
即x²+8x≤0，得-8≤x≤0，即不等式的解集為[-8，0]．
（2）當(dāng)a＞-2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4-a}&{x≤-2}\\{3x+4-a}&{-2＜x＜a}\\{x+4+a}&{x≥a}\end{array}\right.$，
令f（x）=0得x=-4-a或x=$\frac{a-4}{3}$，
則f（x）的圖象如x軸的交點A（-4-a，0），B（$\frac{a-4}{3}$，0），
f（x）在（-∞，-2]上單調(diào)遞減，在（-2，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-2）=-（a+2），設(shè)C（-2，-（a+2）），
f（x）的圖象與x軸圍成以A，B，C為頂點的三角形，
其面積為$\frac{1}{2}$[$\frac{a-4}{3}$-（-4-a））×（a+2）=$\frac{2}{3}$（a+2）²，
若函數(shù)f（x）的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積不超過54，
則$\frac{2}{3}$（a+2）²≤54，即（a+2）²≤81
解得-11≤a≤7，又a＞-2，
所以-2＜a≤7，所以a的最大值為7．

點評 本題主要考查絕對值不等式的結(jié)合和應(yīng)用，根據(jù)絕對值的性質(zhì)表示成分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．