Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x（a＞0，且a≠1），x＞0}\end{array}\right.$的圖象上關于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}x$）-1，（x＜0）關于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，
∵x＜0時，f（x）=sin（$\frac{π}{2}x$）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}x$）-1=-sin（$\frac{π}{2}x$）-1，
則若f（x）=sin（$\frac{π}{2}x$）-1，（x＜0）關于y軸對稱，
則f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}x$）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}x$）-1，x＞0，
設g（x）=-sin（$\frac{π}{2}x$）-1，x＞0
作出函數(shù)g（x）的圖象，要使y=-sin（$\frac{π}{2}x$）-1，x＞0與f（x）=log_ax，x＞0的圖象至少有3個交點，
則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），
即-2＜log_a5，
即log_a5＞$lo{{g}_{a}}^{{a}^{-2}}$，
則5$＜\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，作出函數(shù)關于y對稱的圖象，利用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．