Question

8．設(shè)[x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（lnx）^{2}-[lnx]-2，x＞0}\\{\sqrt{-x}+\frac{1}{2}x-a，x≤0}\end{array}\right.$，若f（x）有且僅有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． a＜0或a=$\frac{1}{2}$
• B． 0≤a＜$\frac{1}{2}$
• C． a＞$\frac{1}{2}$
• D． 不存在實數(shù)a

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達式，先討論當(dāng)x＞0時，函數(shù)零點的個數(shù)為3個，則條件等價為當(dāng)x≤0時，函數(shù)f（x）的零點只有一個，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時，由f（x）=（lnx）²-[lnx]-2=0得（lnx）²=[lnx]+2≥0，
則[lnx]≥-2，
若[lnx]=-2，則-2≤lnx＜-1，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=-2+2=0，此時lnx=0，方程無解，不滿足條件．
若[lnx]=-1，則-1≤lnx＜0，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=-1+2=1，此時lnx=-1，此時x=$\frac{1}{e}$，有一個解．
若[lnx]=0，則0≤lnx＜1，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=0+2=2，此時lnx=$±\sqrt{2}$，方程無解，不滿足條件．
若[lnx]=1，則1≤lnx＜2，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=1+2=3，此時lnx=$\sqrt{3}$，x=${e}^{\sqrt{3}}$，有一個解．
若[lnx]=2，則2≤lnx＜3，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=2+2=4，此時lnx=2，x=e²，有一個解．
若[lnx]=3，則3≤lnx＜4，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=3+2=5，此時lnx=±$\sqrt{5}$，方程無解，不滿足條件
．若[lnx]=4，則4≤lnx＜5，此時方程等價為（lnx）²=[lnx]+2=4+2=6，此時lnx=±$\sqrt{6}$，方程無解，不滿足條件，
即當(dāng)[lnx]≥4時，方程lnx）²=[lnx]+2無解，即當(dāng)x＞0時，f（x）只有3個零點，
若f（x）有且僅有4個零點，
則等價為當(dāng)x＜0時，若f（x）有且僅有1個零點
當(dāng)x＜0時，f（x）=$\sqrt{-x}$+$\frac{1}{2}$x-a=0得$\sqrt{-x}$=-$\frac{1}{2}$x+a，
作出函數(shù)y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的圖象如圖：
當(dāng)y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a相切時，兩個函數(shù)只有一個交點，此時平方得-x=$\frac{1}{4}$x²-ax+a²，
即$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a²=0，
由判別式△=（1-a）²-4×$\frac{1}{4}$a²=0得1-2a=0得a=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過原點時，函數(shù)y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的圖象有2個交點此時a=0，
當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的圖象有1個交點，
綜上實數(shù)a的取值范圍是a＜0或a=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達式判斷當(dāng)x＞0時函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為3個是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．