3.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和Sn,且滿足2Sn=an2+n-4.
(1)求證:{an}為等差數(shù)列;
(2)若bn=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)$2{S_n}=a_n^2+n-4$,可得n=1時,2a1=${a}_{1}^{2}$-3,a1>0,解得a1.n≥2時,2an=2Sn-2Sn-1,化為:(an-1+an-1)(an-an-1-1)=0,可得an-an-1=1,即可證明{an}為等差數(shù)列.
(2)由(1)可得:an=n+2.bn=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{(n+3)(n+2)}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$,即可得出.

解答 (1)證明:∵$2{S_n}=a_n^2+n-4$,∴n=1時,2a1=${a}_{1}^{2}$-3,a1>0,解得a1=3.
n≥2時,2an=2Sn-2Sn-1=${a}_{n}^{2}$+n-4-$({a}_{n-1}^{2}+n-1-4)$,化為:(an-1+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),∴an-an-1=1,
∴{an}為等差數(shù)列,首項為3,公差為1.
(2)解:由(1)可得:an=3+(n-1)=n+2.
∴bn=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{(n+3)(n+2)}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$+$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3n+9}$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項公式、“裂項求和方法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.銳角△ABC,則z=(sinA-cosB)+i(cosA-sinB)對應(yīng)點位于復(fù)平面的(  )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.如圖中的陰影部分表示的集合是( 。
A.M∩NB.M∪∁NC.M∩∁ND.M∪N

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知a=log23,b=log2π,c=($\frac{2}{3}$)0.1,則( 。
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.已知無窮等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a(n∈N*),且a是常數(shù),則此無窮等比數(shù)列的各項和為-1.(用數(shù)值作答)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為$\frac{3π}{2}$+$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.若直線ax+by-1=0(a>0,b>0)經(jīng)過曲線y=2+sinπx(0<x<2)的對稱中心,則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為8.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.函數(shù)y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{2}{co{s}^{2}x}$的最小值是( 。
A.1B.2C.3+2$\sqrt{2}$D.3-2$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.設(shè)$a=\int_0^π{(cosx-sinx)dx}$,則二項式${({x^2}+\frac{a}{x})^6}$展開式中x3項的系數(shù)為( 。
A.-2B.20C.-160D.160

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案