Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，求：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積公式，計算即可，
（2）根據向量的夾角公式計算即可．

解答 解：（1）由題意：${|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}=7⇒{\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=7$，
則${1^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+4=7⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，
（2）$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}=1-4=-3$，
$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\sqrt{1+（-2）+4}=\sqrt{3}$，
設$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為α，則$cosα=\frac{（\overrightarrow a-\overrightarrow b）（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}=\frac{-3}{{\sqrt{7}•\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查了向量的數量積和向量的夾角公式，屬于基礎題．