Question

8．若不等式（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$-\frac{21}{4}，-1$）．

Answer 1

分析 按照n為奇數(shù)，偶數(shù)兩種情況討論，分離出參數(shù)a后化為函數(shù)最值問(wèn)題求解即可．

解答 解：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k-1（k∈N^*）
那么（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$轉(zhuǎn)化為：-a＜（2k-1）+$\frac{9•（-1）^{2k}}{2k}$
∴-a＜2k-1+$\frac{9}{2k}$，（k∈N^*）
a＞1-（2k$+\frac{9}{2k}$）
∵2k$+\frac{9}{2k}$$≥2\sqrt{9}=6$，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)，
又∵k∈N^*
∴當(dāng)k=1時(shí)，2k$+\frac{9}{2k}$=$\frac{11}{2}$
當(dāng)k=2時(shí)，2k$+\frac{9}{2k}$=$\frac{25}{4}$
可見當(dāng)k=2時(shí)，取得最小值．
∴a＞1-$\frac{25}{4}$=$-\frac{21}{4}$
所以a＞$-\frac{21}{4}$恒成立．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈N^*）
那么（-1）ⁿ•a＜n+$\frac{9•（-1）^{n+1}}{n+1}$轉(zhuǎn)化為：a＜2k-$\frac{9}{2k+1}$
∴a＜2k+1-$\frac{9}{2k+1}$-1，（k∈N^*）
2k+1-$\frac{9}{2k+1}$≥0，
所以a＜-1時(shí)恒成立．
綜上所述：a的取值范圍是（$-\frac{21}{4}，-1$）
故答案為（$-\frac{21}{4}，-1$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立，不等式知識(shí)點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想．屬于中檔題．