Question

9．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，AC₁與BD₁相交于點O，則有（　�。�

• A． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}={a^2}$
• B． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{C_1}}=\sqrt{2}{a^2}$
• C． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$
• D． $\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{D{A_1}}={a^2}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），C（0，a，0），O$（\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}）$．
A.$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a²，正確．
B.$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，a，a），∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a²，因此不正確．
C.$\overrightarrow{AO}$=$（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}）$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，因此不正確．
D.$\overrightarrow{BC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a），
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=-a²，因此不正確．
故選：A．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．