Question

14．如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ） 求O點到平面ACD的距離；
（Ⅲ） 求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 解法一（I）證明AO⊥BD，AO⊥AC，即可證明AD⊥平面BCD；
（Ⅱ）設(shè)點O到平面ACD的距離為h，利用等積法V_O-ACD=V_A-OCD，即可求出h的值；
（Ⅲ）先找二面角A-BC-D的平面角，再計算平面角的余弦值；
解法二（I）同解法一；
（Ⅱ）先求出平面ACD的法向量，再利用法向量與$\overrightarrow{OA}$的夾角求出O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面BCD與平面ABC的法向量求出二面角A-BC-D的余弦值．

解答 解法一：（I）證明：連結(jié)OC，
∴△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，
∴AO⊥BD；
∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，
$AB=2，AC=\sqrt{6}$，
∴$AO=CO-\sqrt{3}$；
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥AC，
∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD；
（Ⅱ）設(shè)點O到平面ACD的距離為h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•h=\frac{1}{3}S{△_{OCD}}•AO$；
在△ACD中，$AD=CD=2，AC=\sqrt{6}$，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\sqrt{6}•\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$；
而$AO=\sqrt{3}，{S_{△OCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{{S_{△OCD}}}}{{{S_{△ACD}}}}•AO=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴點O到平面ACD的距離為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（Ⅲ）過O作OE⊥BC于E，連結(jié)AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE；
∴AE⊥BC，
∴∠AEO為二面角A-BC-D的平角；
在Rt△AEO中，AO=$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{OE}$=2，
∴cos∠AEO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴二面角A-BC-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
解法二：（I）同解法一；
（Ⅱ）設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
又$\overrightarrow{DA}=（0，1，\sqrt{3}），\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，1，0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）；
設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow m$夾角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{OA}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)O到平面ACD的距離為h，
∵$\frac{h}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴O到平面ACD的距離為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（Ⅲ）以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則$O（0，0，0），A（0，0，\sqrt{3}），B（0，1，0），C（\sqrt{3}，0，0），D（0，-1，0）$，
∵AO⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量$\overrightarrow{AO}=（0，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
且$\overrightarrow{AB}=（0，1，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1）；
設(shè)$\overrightarrow n$與$\overrightarrow{AO}$夾角為θ，則|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{AO}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A-BC-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了用空間向量解決空間中的平行與垂直問題，考查了空間距離與角的計算問題，是綜合性題目．