Question

已知不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相等．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用,一元二次不等式的解法,絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由絕對值不等式的解法，可得解集為{x|x＜1或x＞3}，進(jìn)而得到1，3為方程x²-ax+b=0的兩根，代入方程即可得到a，b；
（Ⅱ）運(yùn)用柯西不等式，可得f（x）的最大值，同時由等號成立的條件可得x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＜1或x＞3}，
∴不等式x²-ax+b＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}．
從而1，3為方程x²-ax+b=0的兩根，
∴

1-a+b=0 9-3a+b=0

，
解得：a=4，b=3．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇3，5]，且顯然有y＞0，
由柯西不等式可得：
y=4

x-3

+3

5-x

≤

42+32

×

( x-3 )2+( 5-x )2

=5

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)：4

5-x

=3

x-3

時等號成立，
即x=

107

25

時，函數(shù)取得最大值5

2

．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式和二次不等式的解法，考查柯西不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．