Question

8．若直線l：y=kx-1與曲線C：f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值為（　�。�

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直線l：y=kx-1與曲線f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$沒有公共點(diǎn)，則x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1無解，可化為k=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，設(shè)g（x）=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，求導(dǎo)，研究此函數(shù)的單調(diào)性即可解決

解答 解：若直線l：y=kx-1與曲線f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$沒有公共點(diǎn)，則x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1無解，
∵x=0時，上述方程不成立，∴x≠0
則x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1可化為k=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=1+$\frac{1}{x{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}{e}^{x}}$
∴g′（x）滿足：在（-∞，-1）上g′（x）＞0，在（-1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，
∴g（x）滿足：在（-∞，-1）上遞增，在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減，
g（-1）=1-e，而當(dāng)x→+∞時，g（x）→1，
∴g（x）的圖象：

∴g（x）∈（-∞，1-e]∪（1，+∞）
無解時，k∈（1-e，1]，
∴k_max=1，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．