Question

已知函數f（x）=

px+3

x2+2

（其中p為常數，x∈[-2，2]）為偶函數．
（1）求p的值； （2）如果f（1-m）＜f（2m），求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于函數f（x）為偶函數，f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，可得函數f（x）在[0，2]上為減函數，在[-2，0]上為增函數．由于f（1-m）＜f（2m），可得2≥|1-m|＞|2m|≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，化為px=0，解得p=0．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，
∴函數f（x）在[0，2]上為減函數，在[-2，0]上為增函數．
∵f（1-m）＜f（2m），
∴2≥|1-m|＞|2m|≥0，
解得-1＜m＜

1

3

．
∴實數m的取值范圍是(-1，

1

3

)．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．