Question

18．已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個最高點的坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），
由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（$\frac{3}{2}$π，0），φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求這條曲線的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的A與周期，然后求出初相，得到函數(shù)的解析式．
（2）利用x的范圍，求出相位的范圍，通過正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）∵曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個最高點的坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），
由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（$\frac{3}{2}$π，0），
∴A=$\sqrt{2}$，T=4×（$\frac{3π}{2}-\frac{π}{2}$）=4π，…（2分）
即$ω=\frac{1}{2}$，即y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+φ），…（3分）
將（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$）代入y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
得$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即φ=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∵φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{4}$，…（4分）
則函數(shù)解析式為y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．…（5分）
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，$\frac{π}{4}≤$$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{4}$，…（6分）
由圖象可知，當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時，y取最大值$\sqrt{2}$； …（7分）
當(dāng)x=0或π時，y取最小值1．（兩個x值少寫一個扣一分）  （9分）
∴函數(shù)y的值域為[1，$\sqrt{2}$]．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的職業(yè)病的求法，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與基本知識的應(yīng)用．