Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對(duì)任意n∈N^*有a_n+1=-a_n+2n+1成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，通項(xiàng)公式為a_n，若對(duì)任意的n∈N^*存在m∈N^*，使得S_n=a_m成立，則稱數(shù)列{a_n}為“s-a”型數(shù)列．已知a₁=a為偶數(shù)，試探求a的一切可能值，使得數(shù)列{a_n}是“s-a”型數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，${a_{n+2}}-{a_n}=2，n∈{N^*}$，分別求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，求得a_n，即可求得${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n+a-1，n為奇數(shù)\\ n+1-a，n為偶數(shù)\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，分類，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，分別求得S_n；
（3）由題意可知，對(duì)于a_n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n為偶數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，a_n為奇數(shù)，當(dāng)n=4k-1，n=4k-3，n=4k及n=4k-2時(shí)，求得a的取值范圍，綜上即可求得a的值，使得數(shù)列{a_n}是“s-a”型數(shù)列．

解答 解：（1）a_n+1+a_n=2n+1①，
∴a_n+2+a_n+1=2n+3②
②-①得：${a_{n+2}}-{a_n}=2，n∈{N^*}$…（2分）
∴a_2k-1=a₁+（k-1）×2=2k+a-2…（3分）
∵a₁+a₂=3，
∴a₂=3-a₁=3-a，
∴a_2k=a₂+（k-1）×2=2k+1-a…（4分）
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n+a-1，n為奇數(shù)\\ n+1-a，n為偶數(shù)\end{array}\right.$…（5分）
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=a+（2×2+1）+（2×4+1）+…+[2×（n-1）+1]，
=$a+\frac{{\frac{n-1}{2}}}{2}（5+2n-1）=a+\frac{（n-1）（n+2）}{2}$…（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=$（2×1+1）+（2×3+1）+…+[2×（n-1）+1]=\frac{{\frac{n}{2}}}{2}（3+2n-1）=\frac{n（n+1）}{2}$…（9分）
∴${S_n}=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{（n-1）（n+2）}{2}，n為奇數(shù)\\ \frac{n（n+1）}{2}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$…（10分）
（3）∵a為偶數(shù)，
∴對(duì)于a_n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n為偶數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，a_n為奇數(shù)…（11分）
i）當(dāng)n=4k-1（k∈N^*）時(shí)，${S_n}=a+\frac{（4k-2）（4k+1）}{2}=a+（2k-1）（4k+1）$為奇數(shù)，取m為偶數(shù)，a_m為奇數(shù)，
則由a_m=S_n得m+1-a=a+8k²-2k-1，
∴m=8k²-2k+2a-2且由8k²-2k+2a-2≥4+2a，
∴2a+4≥2，
∴a≥-1…（12分）
ii）當(dāng)n=4k-3（k∈N^*）時(shí)，S_n=a+2（k-）（4k-1）為偶數(shù)，取m為奇數(shù)，
則a_m為偶數(shù)，由a_m=S_n得m=1+2（k-1）（4k-1）≥1…（13分）
ⅲ）n=4k（k∈N^*）時(shí)，S_n=2k（4k+1）為偶數(shù)，取m為奇數(shù)，由a_m=S_n得m=8k²+2k+1-a，
∵8k²+2k+1-a≥11-a≥1，
∴a≤10…（14分）
ⅳ）當(dāng)n=4k-2（k∈N^*）時(shí)，S_n=（2k-1）（4k-1）為奇數(shù)，取m為偶數(shù)，則由a_m=S_n得m=8k²-6k+a，
∵8k²-6k+a≥2+a≥2，
∴a≥0…（15分）
∴a=0，2，4，6，8，10時(shí)，數(shù)列{a_n}為“s-a”型數(shù)列，否則數(shù)列{a_n}不是“s-a”型數(shù)列．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查分類討論思想，考查數(shù)列的新定義，考查數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題的解法，屬于難題．