Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（其中a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓C過點（-$\sqrt{3}$，1）且與拋物線y²=-8x有一個公共的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點且斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，進(jìn)一步得到橢圓左焦點坐標(biāo)，把（-$\sqrt{3}$，1）代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求得a，b的答案；
（2）寫出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求得線段AB的長度．

解答 解：（1）拋物線y²=-8x的焦點為（-2，0），
∴橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦點為（-2，0），c=2，b²=a²-4．
又$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，得a⁴-8a²+12=0，解得a²=6（a²=2舍去）．
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）直線l的方程為y=x-2．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y并整理得2x²-6x+3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x₁+x₂=3，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$．
則$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}=\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用弦長公式求弦長，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．