Question

3．在△ABC中，B=30°，AC=2，則AB+BC的最大值為2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即c²+a²=$\sqrt{3}$ac+4，由基本不等式的性質(zhì)可知：（c+a）²=（ $\sqrt{3}$+2）ac+4≤$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$（c+a）²+4，即可求得c+a的最大值，即AB+BC的最大值．

解答 解：由題意可知：b=2，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即 $\sqrt{3}$ac=c²+a²-4即c²+a²=$\sqrt{3}$ac+4
即（c+a）²=（ $\sqrt{3}$+2）ac+4≤$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$（c+a）²+4，
即$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$（c+a）²≤4
即（c+a）²≤16（2+$\sqrt{3}$），
∴c+a≤4$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，取等號，
故答案為：2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．