Question

18．已知橢圓$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，雙曲線$\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$與橢圓有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，M是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若∠F₁MF₂=60°，則雙曲線的離心率e為$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，不妨設(shè)m＞n．可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂，（2c）²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-2mn-2mncos60°，化簡(jiǎn)基礎(chǔ)即可得出．

解答 解：設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，不妨設(shè)m＞n．
則m+n=2a₁，m-n=2a₂，（2c）²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-2mn-2mncos60°，
可得：4c²=${a}_{1}^{2}$+12${a}_{2}^{2}$，
∴4=$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$+12×$\frac{1}{{e}^{2}}$，解得e=$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．