Question

15．圓x²+y²+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0（a＞0，b＞0）對稱，則$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$的最小值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 6$\frac{2}{3}$
• C． 4
• D． 5$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出圓的圓心代入直線方程，然后利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：∵圓x²+y²+2x-6y+1=0?（x+1）²+（y-3）²=9，
圓x²+y²+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0（a＞0，b＞0）對稱，
∴該直線經(jīng)過圓心（-1，3），
把圓心（-1，3）代入直線ax-by+3=0（a＞0，b＞0），得：-a-3b+3=0
∴a+3b=3，a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$）（a+3b）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3b}{a}$+$\frac{3a}$）≥5$\frac{1}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}$時取得最小值為5$\frac{1}{3}$
故選D．

點評 本題考查代數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質(zhì)和均值定理的合理運用．