Question

5．設(shè)復(fù)數(shù)z=-3cosθ+isinθ．（i為虛數(shù)單位）
（1）當(dāng)θ=$\frac{4}{3}$π時(shí)，求|z|的值；
（2）當(dāng)θ∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，復(fù)數(shù)z₁=cosθ-isinθ，且z₁z為純虛數(shù)，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）化簡復(fù)數(shù)然后求解復(fù)數(shù)的模．
（2）化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，實(shí)部為0，虛部不為0，求解即可．

解答 解：（1）∵$θ=\frac{4}{3}π$，∴$z=-3cos\frac{4}{3}π+isin\frac{4}{3}π=\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$
∴|z|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）復(fù)數(shù)z=-3cosθ+isinθ．復(fù)數(shù)z₁=cosθ-isinθ，
z₁z=（-3cosθ+isinθ）（cosθ-isinθ）=-3cos²θ+sin²θ+4icosθsinθ，
z₁z為純虛數(shù)，可得：-3cos²θ+sin²θ=0，故tan²θ=3，此時(shí)4cosθsinθ≠0，滿足題意．
因?yàn)?θ∈[\frac{π}{2}，π]$，故$tanθ=-\sqrt{3}$，所以$θ=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．