Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且首項(xiàng)a₁≠3，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求證：{S_n-3ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）若{a_n}為遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），可得數(shù)列{S_n-3ⁿ}是公比為2，首項(xiàng)為a₁-3的等比數(shù)列；
（2）n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，利用{a_n}為遞增數(shù)列，即可求a₁的取值范圍．

解答： 證明：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∵a₁≠3，
∴數(shù)列{S_n-3ⁿ}是公比為2，首項(xiàng)為a₁-3的等比數(shù)列；
（2）由（1）得S_n-3ⁿ=（a₁-3）×2^n-1，
∴S_n=（a₁-3）×2^n-1+3ⁿ，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∵{a_n}為遞增數(shù)列，
∴n≥2時(shí)，（a₁-3）×2^n-1+2×3ⁿ＞（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∴n≥2時(shí)，2n-2[12×(

3

2

)n-2+a1-3]＞0，
∴a₁＞-9，
∵a₂=a₁+3＞a₁，
∴a₁的取值范圍是a₁＞-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．