Question

7．某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計為可推拉的窗口．
（1）若窗口ABCD為正方形，且面積大于$\frac{1}{4}$m²（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍；
（2）若四根木條總長為6m，求窗口ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出正方形的邊長，可得正方形的面積，利用面積大于$\frac{1}{4}$m²，即可求四根木條總長的取值范圍；
（2）設(shè)AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm，求出AB，BD，可得窗口ABCD面積，利用基本不等式求窗口ABCD面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)一根木條長為xcm，則正方形的邊長為2$\sqrt{1-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∵S_ABCD＞$\frac{1}{4}$，
∴4-x²＞$\frac{1}{4}$，
∴x＜$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵四根木條將圓分成9個區(qū)域，
∴x＞$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$＜4x＜2$\sqrt{15}$；
（2）設(shè)AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm，
由條件，2a+2b=6，則a+b=3，
∵a，b∈（0，2），
∴b=3-a∈（0，2），∴a，b∈（1，2）．
∵AB=2$\sqrt{1-\frac{^{2}}{4}}$，BD=2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴S_ABCD=4$\sqrt{1-\frac{^{2}}{4}}$•$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4-^{2}}$•$\sqrt{4-{a}^{2}}$≤$\frac{8-（{a}^{2}+^{2}）}{2}$≤$\frac{8-\frac{（a+b）^{2}}{2}}{2}$=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{3}{2}$∈（1，2）時，S_ABCD=$\frac{7}{4}$，
答：窗口ABCD面積的最大值為$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．