Question

15．已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：①x＞1時，f（x）＜0；②f（$\frac{1}{2}$）=1；③對任意的正實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（2）求證：f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令y=$\frac{1}{x}$，即可證得f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）根據(jù)（2）可求得f（4）=-2，從而可得f（5-x）≥f（2），再利用f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，即可求得其解集．

解答 （1）證明：因?yàn)閷θ我獾恼龑?shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），
所以令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．
再令y=$\frac{1}{x}$，則f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，所以f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，所以f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0
又f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂）+f（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=f（x₂）-f（x₁）
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）解：由f（$\frac{1}{2}$）=1，得f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1+1=2，
又f（$\frac{1}{4}$）=-f（4），
所以f（4）=-2，
所以不等式f（2）+f（5-x）≥-2化為f（5-x）≥f（$\frac{1}{2}$）+f（4）=f（2），
因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上上的減函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{5-x＞0}\\{5-x≤2}\end{array}\right.$，解得3≤x＜5，
所以不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集為[3，5）．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確賦值是關(guān)鍵．