Question

10．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（2，4），其頂點的橫坐標是$\frac{1}{2}$，它的圖象與x軸交點為B（x₁，0）和C（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．
①求函數的解析式；
②已知點D（$\frac{1}{2}$，m），P在函數的圖象上，求|DP|的最小值．

Answer 1

分析 ①已知函數的解析式，把點（2，4）代入，然后再根據頂點坐標公式及方程兩根之和和兩根之差，列出三個式子，從而求解；
②根據拋物線的表達式求出|DP|的最小值即可．

解答 解：①∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（2，4），
∴4a+2b+c=4 （1）
∵頂點的橫坐標是$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$（2）
∵函數圖象與x軸交點為B（x₁，0）和C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{^{2}-2ac}{{a}^{2}}$=13（3）
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
由（2）得：a=-b代入（1）得：-2b+c=4 c=2b+4，
將a=-b，c=2b+4代入（3）得：b²+2b（2b+4）=13b²，
解得：b=0或b=1，
∵b=0不合題意，
∴b=1，a=-1，c=6，
∴y=-x²+x+6；
②已知點D（$\frac{1}{2}$，m），顯然D在對稱軸上，
P在函數的圖象上，若|DP|最小，
只需D、P重合，都是拋物線的頂點即可，
此時|DP|的最小值是0．

點評 主要考查了用待定系數法求函數的解析式，還考查一元二次方程與函數的關系，考查最值問題，是一道中檔題．