Question

5．已知定義在R上的函數(shù)g（x）的導函數(shù)為g′（x），滿足g′（x）-g（x）＜0，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且g（4）=1，則不等式$\frac{g（x）}{{e}^{x}}＞1$的解集為（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可．

解答 解：∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴g（2+x）=g（2-x），
∴g（4）=g（0）=1；
設h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），則h′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$，
又∵g′（x）-g（x）＜0，
∴h′（x）＜0；
∴y=h（x）單調(diào)遞減，
而當x=0時，h（0）=$\frac{g（0）}{{e}^{0}}$=1；
不等式$\frac{g（x）}{{e}^{x}}＞1$，即h（x）＞h（0），
解得：x＜0，
故不等式的解集為（-∞，0），
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．