Question

18．已知f（x）=sin（x-30°）+cos（x-60°），g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$．
（1）若α為第一象限角且f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求g（α）之值；
（2）求f（x-1080°）≥g（x）在[0，360°]內(nèi)的解集．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{3}$sinx，g（x）=1-cosx，由f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，可求sinα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，進(jìn)而可求g（α）．
（2）由（1）利用誘導(dǎo)公式可求f（x-1080°）=$\sqrt{3}$sinx，由f（x-1080°）≥g（x），可得sin（x+30°）≥$\frac{1}{2}$，
結(jié)合范圍x∈[0°，360°]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）∵f（x）=sin（x-30°）+cos（x-60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$sinx，…2分
g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$=1-cosx，…4分
由f（α）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，可得：sinα=$\frac{3}{5}$，
又α為第一象限角，
∴cos$α=\frac{4}{5}$，
∴g（α）=$\frac{1}{5}$．…5分
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{3}$sinx，
∴f（x-1080°）=$\sqrt{3}$sin（x-1080°）=$\sqrt{3}$sinx，
∴f（x-1080°）≥g（x）等價(jià)于$\sqrt{3}$sinx≥1-cosx，即：$\sqrt{3}$sinx+cosx≥1，…7分
可得：2sin（x+30°）≥1，
∴sin（x+30°）≥$\frac{1}{2}$，…9分
∴k•360°+30°≤x+30°≤k•360°+150°（k∈Z），
又∵x∈[0°，360°]，
∴0°≤x≤120°，
∴f（x-1080°）≥g（x）的解集為：[0°，120°]．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．